数学的帰納法でG(m/2^k)、ただしkは正整数でmは0以上2^k以下の整数である集合が定義され、m<nならばG(m/2^k)の閉包⊆G(n/2^k)が成立しているものとすると</p>
G(a)の閉包⊆U,Uの閉包⊆G(b)が成り立つようなUをとれるとありました。ただしa,bと書いたのはこの部分がどうあったか思い出せないのでそう書いているだけなので、これが実際に何であったかはあなたの知識で補ってください。これらの条件を踏まえてU=G(c)とすれば(cも覚えてないからこう書いているだけ)k+1の場合も成立するとありました。
疑問の要点は、分母が2^kのときから2^k+1になったときも、それに伴って0から2^k+1の間でとれるようになったあらゆるm,n(ただしm<n)において帰納法の仮定が成り立つことについて、</p>
これはたとえばk=2のときを考えたら分母が4のときの話であり、すなわち表のように分子を書けば
a,c,b
0,1,2
2,3,4
のような表の中で、このなか相異なる整数を取り出して小さい方からmとすればG(m/2^k)の閉包⊆m(n/2^k)が成り立っているということで、
分母を2^k+1とすればその分考えうる分子が以下のように2倍に増える
a,c,b
0,1,2
2,3,4
4,5,6
6,7,8
しかしこのうち,0,2,4,6,8のような偶数は前述の表の0,1,2,3,4に対応していて、これらのなかにおいてG(m)の閉包とG(n)の包含関係を考えるかぎりは
帰納法の仮定よりただちにG(m/2^k+1)の閉包⊆G(n/2^k+1)が成り立つことはわかる。
また片方の分子が偶数でもう片方が奇数の場合や、両方が奇数の場合には包含関係を判断する手がかりが足りないように思える。
どうすればいいのか？
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