PCR : Polymerase chain reaction : classique et en temps réelNadia Terranti
la PCR comme outil en biologie moléculaire .
PCR : Déroulement, optimisation, limites , inconvénients et variantes.
PCR en temps réel et chimies de détéction
PCR quantitative
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PCR quantitative
Détection des droites par la transformée de HoughKhaled Fayala
Pour extraire des informations à partir des images, il existe plusieurs approches qui se base sur la détection des éléments spécifiques dans l’image parmi ces approches nous citons la transformée de hough.
Analyse de méthodes intelligentes de détection de fissures dans diverses stru...Papa Cheikh Cisse
Dans cette présentation est exposée des techniques de détection de fissures dans des structures grâce à quelques technologies de l'Intelligence Artificielle telles que les réseaux de neurones, l'algorithme génétique, etc. On y expose aussi les différentes étapes d'un algorithme génétique tels que le croisement, la mutation, la sélection, ...
Gartner a annoncé la mort des IDS et IPS en 2003. Sont ils morts ? Si oui, qu'est ce qui les a remplacé ? Lors de cette présentation nous feront l'état de l'art de la détection d'intrusions moderne. Nous regarderons comment la communauté scientifique cherche à répondre aux critiques et aux problématiques de la détection d'intrusions et comment elles peut servir à solutionner de nouveaux problèmes. Finalement, nous prendrons du recul pour regarder les problèmes philosophiques et sémantiques, non pas seulement dans la détection d'intrusions, mais dans les mesures de protection des ordinateurs en général.
Résistance de Plasmodium vivax à la chloroquine - Présentation de la 4e édition du Cours international « Atelier Paludisme » - Grah Worro Elisabeth BEUGRE - Médecin/Chercheur - Institut Pasteur de Côte d'Ivoire - beugregrah@yahoo.fr
La 6ème édition du Meetup de la Voiture Connectée à Paris s'est tenue le 16 Février 2017, au Square Paris, le nouveau lab digital de Renault.
https://www.meetup.com/fr-FR/MeetupVoitureConnectee/
1) Liberty Rider : Première application de détection de chute en France, Liberty Rider a été conçue pour détecter les accidents à moto afin de prévenir les services de secours le plus rapidement et le plus efficacement possible.
2) Jamaica-Car par AICAS GmbH: un framework applicatif pour l'automobile connectée, ou comment implémenter un appstore sur un système d'info-divertissement automobile sans modifier le matériel existant.
3) De plus, Vincent Viollain de Viva Technology nous a présenté ses challenges de startups en lien avec les véhicules connectés et autonomes.
Les Meetups Voiture Connectée et Autonome vous sont proposés par Laurent Dunys, https://www.linkedin.com/in/laurentdunys, depuis 2016.
Rejoignez notre groupe en ligne: https://www.meetup.com/fr-FR/MeetupVoitureConnecteeAutonome
QIAseq Technologies for Metagenomics and Microbiome NGS Library PrepQIAGEN
In this slide deck, learn about the innovative technologies that form the basis of QIAGEN’s portfolio of QIAseq library prep solutions for metagenomics and microbiome sequencing. Whether your research starts from single microbial cells, 16s rRNA PCR amplicons, or gDNA for whole genome analysis, QIAseq technologies offer tips and tricks for capturing the genomic diversity of your samples in the most unbiased, streamlined way possible.
Aufgrund der einzigartigen Kontext-Technologie ist MIOsoft in der Lage, Mobilanschlussanbieter bei SIM-Karten Mißbräuchen zeitnah mit der Bewertung und den darauf folgenden Aktionen zu unterstützen. So können sowohl Anbieter als auch Kunden vor hohen Kosten bewahrt werden unter Berücksichtigung der Nutzungsgewohnheiten des Anwenders. Es können beliebig viele Datenquellen real-time an die Plattform von MIOsoft angebunden und verarbeitet werden. Mit speziellen Regeln, die individuell konfiguriert werden können, ist es möglich, Aktionen festzulegen, falls es zu einer starken Abweichung des Nutzungsverhaltens kommt. Um auch noch im BIG DATA Bereich zeitnah agieren zu können, wendet MIOsoft seinen patentierten Context-Activity-Cycle an, der die Kontexte unter Beobachtung stellt, bei denen Auffälligkeiten automatisiert entdeckt wurden.
A talk about network security and the whole security process, covering prevention, detection, and response. Presented by Jonathan Weiss at the Juniter Workend 2005.
El documento describe la enfermedad renal crónica (ERC), definida como una disminución de la función renal o daño renal persistente durante al menos 3 meses. La ERC afecta a un alto porcentaje de la población debido a factores de riesgo como la hipertensión y la diabetes. Las guías K/DOQI proponen una clasificación de la ERC en 5 estadios basada en la tasa de filtración glomerular estimada para facilitar el diagnóstico y tratamiento. Los estadios iniciales se enfocan en la prevención mientras
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In diesem Webinar zeigen wir Ihnen, wie Fraud Detection in diesem Umfeld funktioniert:
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- Neue Einblicke in die Geschäftstätigkeit
- Offene Schnittstelle für interne und externe Systeme
- Automatisierte Reaktion auf Unregelmässigkeiten
- Verdächtige IP Adressen können blockiert werden
- Betroffene Transaktionen umgehend stornieren
- Betroffene Konten sowie Transaktionen können gesperrt und der Endkunde über den Vorfall informiert werden
Détection des droites par la transformée de HoughKhaled Fayala
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Résolution d'équations différentielles linéaires du premier ordre par la méth...SOFYANEBOUAMEUR
Les techniques de Runge-Kutta sont des schémas numériques à un pas qui permettent de résoudre les équations différentielles ordinaires. Elles font parties des méthodes les plus populaires de part leur facilité de mise en œuvre et leur précision. C'est Carle Runge et Martin Kutta qui, au début du XXe siècle, ont inventé ces méthodes.
Nous décrivons ici algorithme assez utilisé : celles de Runge-Kutta d'ordre 4.
Etude de la convergence du modèle binomial vers le modèle de Black ScholesAli SIDIBE
Le but de ce projet était de montrer la convergence du modèle discret binomial de Cox-Ross-Rubinstein (BOPM pour “binomial option pricing modèle”) vers le modèle continu de Black, Scholes et Merton (BSM).\\
Ces deux modèles sont des modèles de l'évaluation des produits financiers vus dans le cours.
L'intérêt d’une telle étude est de savoir si l’on peut approximer un temps discret par un temps continu et inversement.
Le suivi des process de production fait l'objet d'une littérature abondante. le SPC (MSP) est une technique qui a pénétré le monde des process "séries". Force est néanmoins de constater que la mesure, et les incertitudes associées, sont rarement considérées. Et pourtant ...
Pr´esentation
La th´eorie des probabilit´es r´esulte d’un long processus de mod´elisation
des ph´enom`enes al´eatoires, inaugur´e au xviie si`ecle par l’´etude des jeux de
hasard, pour aboutir aujourd’hui `a la th´eorisation de ph´enom`enes aussi complexes
que les processus de diffusion en physique ou l’´evolution des march´es
financiers. En 1931, le math´ematicien sovi´etique Andrei Kolmogorov, prenant
appui sur la toute r´ecente th´eorie de la mesure et de l’int´egration d´evelopp
´ee par Borel et Lebesgue, donna au corpus d´enomm´e jusqu’alors Calcul des
probabilit´es une structure axiomatico-d´eductive, propre aux math´ematiques
contemporaines, assurant la th´eorie des probabilit´es sur des bases solides.
Ce livre s’adresse aux ´etudiants en math´ematiques de niveaux L2, L3
et M1, ainsi qu’aux ´el`eves ing´enieurs et plus g´en´eralement aux ´etudiants et
aux chercheurs sollicit´es par des probl`emes de mod´elisation de ph´enom`enes et
de syst`emes al´eatoires. Il devrait leur permettre de maˆıtriser les concepts et
les m´ethodes probabilistes afin de les appliquer `a des domaines aussi vari´es
que le traitement du signal, l’automatique, la th´eorie des r´eseaux, la recherche
op´erationnelle, les sciences biologique et ´economique.
Les pr´erequis constitu´ees des connaissances math´ematiques dispens´ees
durant les deux premi`eres ann´ees d’un cursus universitaire du type math´ematique,
ou dans le cadre des classes pr´eparatoires aux ´ecoles d’ing´enieurs et de
commerce, pourront ˆetre compl´et´es par les notions basiques d’analyse fonctionnelle
: mesure et int´egration, espaces de Hilbert.
J’ai r´edig´e ce cours dans le souci permanent d’´eviter la pesante et souvent
inefficace lin´earit´e de l’expos´e d´eductif, que les limites horaires d’un cours
de math´ematiques en ´ecole d’ing´enieurs rendent impraticables. `A de rares exceptions
pr`es, seules les d´emonstrations peu techniques et relativement courtes
ont ´et´e donn´ees ; en revanche certaines d´emonstrations abordables et ayant un
int´erˆet p´edagogique sont propos´ees sous forme d’exercices.
L’ouvrage est compos´e de onze chapitres : les six premiers constituent
un expos´e de la th´eorie des probabilit´es ; les quatre suivants sont consacr´es aux
processus al´eatoires classiques et `a leurs applications, quant au dernier chapitre
c’est un ensemble de probl`emes suivis de leurs corrig´es. Le premier chapitre
concerne les probabilit´es d´efinies sur des ensembles au plus d´enombrables ; les
deux chapitres suivants mettent en place les notions th´eoriques centrales s’articulant
sur les concepts de variable et de vecteur al´eatoire
Amélioration continue - 6 sigma - ibtissam el hassani-chapitre 2015-2016
Presoutenance
1. Estimations ensemblistes des états
et application à la détection
Jun XIONG
Sous la direction de Carine Jauberthie et Louise Travé-Massuyès
LAAS-CNRS, Groupe DIagnostic Supervision et COnduite
12 Septembre 2013
2. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Cadre général
Estimation→Détection→Diagnostique→Reconfiguration
2 / 39
3. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Cadre général
Estimation→Détection→Diagnostique→Reconfiguration
...mais n’oublions pas, il y a aussi des...
Incertitudes
Que connaissons-nous sur le système dynamique ?
2 / 39
4. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Cadre général
Estimation→Détection→Diagnostique→Reconfiguration
...mais n’oublions pas, il y a aussi des...
Incertitudes
Que connaissons-nous sur le système dynamique ?
Bruits de mesure et sur la dynamique
incertains, modélisés comme des variables aléatoires suivant une loi
de probabilité connue à priori, gaussienne e.g.
Example :Les bruits de mesure a une valeur aleatoire mais avec une
moyenne nul dans une longue periode
2 / 39
5. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Cadre général
Estimation→Détection→Diagnostique→Reconfiguration
...mais n’oublions pas, il y a aussi des...
Incertitudes
Que connaissons-nous sur le système dynamique ?
Bruits de mesure et sur la dynamique
incertains, modélisés comme des variables aléatoires suivant une loi
de probabilité connue à priori, gaussienne e.g.
Example :Les bruits de mesure a une valeur aleatoire mais avec une
moyenne nul dans une longue periode
Tolérances paramétriques
tolérances sur les valeurs de paramètres et les mesures, modélisées
par des incertitudes bornées
Example :La valeur de tension fonctionnelle peut etre configurée entre
2 volts et 4 volts
2 / 39
6. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Sommaire
1 Contexte et problématique
Contexte de travail
Point départ de la thèse
2 Calcul par intervalles
Analyse par intervalle
Optimisation de solution
3 Estimation ensembliste des états et détection
Espérance et variance ensembliste
Méthode existant et son problème
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Application à la détection
4 Exemples numériques
Estimation des états d’un cas d’étude
Détection de faute d’un cas d’étude
5 Conclusion et perspectives
3 / 39
7. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
1ère
partie
Contexte et problématique
4 / 39
8. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Contexte de travail
Origines des incertitudes
Jamis un modele peut représenter le systeme reel parfaitement !
5 / 39
9. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Contexte de travail
Origines des incertitudes
Jamis un modele peut représenter le systeme reel parfaitement !
Connaissance d’expert
Un expert donne une valeur pragmatique
Example :Un boulanger croit que le temps de
fermentation des pâtes est supérieur a 1
heure mais inférieur a 2 heures
Tolérance outillage
Un outillage de mesure donne une valeur
arrondie
Example :Un règle de longeur enlève un
mesure avec une précision de ± 1 mm
Limitation de modélisation
Un modèle ne peut pas inclure tout
possibilités
Example :Un modeleur de système n’a pas
pris en compte tout les configurations
possibles
Fait physique
Les bruits sont statistiquement distribués
Example :Les mesures de capteur électrique
sont bruités mais le bruit est moyennment nul
sur longue terme
5 / 39
10. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Contexte de travail
Approximation des incertitudes
L’approche stochastique
Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par les lois de
probabilité connu : loi normal, loi uniforme, loi de poisson. . .
6 / 39
11. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Contexte de travail
Approximation des incertitudes
L’approche stochastique
Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par les lois de
probabilité connu : loi normal, loi uniforme, loi de poisson. . .
Exigence de connaissance de
caractéristique statistique en avance,
Fusion des lois distributions (multiple
capteurs) dégrade le taux de croyance.
6 / 39
12. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Contexte de travail
Approximation des incertitudes
L’approche stochastique
Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par les lois de
probabilité connu : loi normal, loi uniforme, loi de poisson. . .
Exigence de connaissance de
caractéristique statistique en avance,
Fusion des lois distributions (multiple
capteurs) dégrade le taux de croyance.
L’approche ensembliste
Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par : ellipsoïdes,
zonotopes, polytopes, unions de pavés. . .
6 / 39
13. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Contexte de travail
Approximation des incertitudes
L’approche stochastique
Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par les lois de
probabilité connu : loi normal, loi uniforme, loi de poisson. . .
Exigence de connaissance de
caractéristique statistique en avance,
Fusion des lois distributions (multiple
capteurs) dégrade le taux de croyance.
L’approche ensembliste
Caractérisation de l’ensemble de toutes les solutions possibles par : ellipsoïdes,
zonotopes, polytopes, unions de pavés. . .
Exigence de temps et de puissance de
calcul,
Pessimisme de résultat par sur-estimation,
moins precise dans certain cas d’utilisation.
6 / 39
14. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Contexte de travail
Détection de faute : modélisation
Actuators
Residuals
input output
Residual generation tools
System
dynamics
Sensors
Actuators
faults
Component
fault
Disturbances
Sensor
fault
Noise
Controller
Un résidus r(t) dépend un modèle,
un vecteur d’entrée u(t) et un
vecteur de mesure y(t) :
r(t) = g(u(t), y(t)),
Pour concrètement, cela peut etre
simplifiée à :
r(t) = ym(t) − ˆy(t).
7 / 39
15. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Contexte de travail
Détection de faute : modélisation
Actuators
Residuals
input output
Residual generation tools
System
dynamics
Sensors
Actuators
faults
Component
fault
Disturbances
Sensor
fault
Noise
Controller
Un résidus r(t) dépend un modèle,
un vecteur d’entrée u(t) et un
vecteur de mesure y(t) :
r(t) = g(u(t), y(t)),
Pour concrètement, cela peut etre
simplifiée à :
r(t) = ym(t) − ˆy(t).
Approche d’observateur
Estimer les états a partir
d’un modèle.
Méthode paramétrique
Estimer les parametres
a partir d’un modèle.
Redondance analytique
Analyser des relations
parités.
7 / 39
16. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Point départ de la thèse
Tous uni ensemble !
Méthode d’estimation
Système linéaire
Filtre de Kalman
Moindre carrée
...
Système non-linéaire
Filtrage particulaire
Kalman étendu
...
8 / 39
17. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Point départ de la thèse
Tous uni ensemble !
Méthode d’estimation
Système linéaire
Filtre de Kalman
Moindre carrée
...
Système non-linéaire
Filtrage particulaire
Kalman étendu
...
+
Modèle d’incertitude
Ensembliste
Ellipsoïde
Polytope
Zonotope
Intervalle(Pavé)
...
Stockastique
Normal distribution
Uniforme
Loi de poisson
...
8 / 39
18. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Point départ de la thèse
Tous uni ensemble !
Méthode d’estimation
Système linéaire
Filtre de Kalman
Moindre carrée
...
Système non-linéaire
Filtrage particulaire
Kalman étendu
...
+
Modèle d’incertitude
Ensembliste
Ellipsoïde
Polytope
Zonotope
Intervalle(Pavé)
...
Stockastique
Normal distribution
Uniforme
Loi de poisson
...
+
Diagnostique
Observateur
Paramétrique
Parité
8 / 39
19. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Point départ de la thèse
Tous uni ensemble !
Méthode d’estimation
Système linéaire
Filtre de Kalman
Moindre carrée
...
Système non-linéaire
Filtrage particulaire
Kalman étendu
...
+
Modèle d’incertitude
Ensembliste
Ellipsoïde
Polytope
Zonotope
Intervalle(Pavé)
...
Stockastique
Normal distribution
Uniforme
Loi de poisson
...
+
Diagnostique
Observateur
Paramétrique
Parité
8 / 39
20. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Point départ de la thèse
Uncertain stochastic system
Motivés par les observations ci-dessus, nous traitons le problème de
l’intégration d’incertitudes statistiques et à erreurs bornées pour les
systèmes linéaires à temps discret.
Formulation du système
xk+1 = Axk + Buk + wk, A ∈ A, B ∈ B,
yk = Cxk + Duk + vk, C ∈ C, D ∈ D,
A ∈ IRn×n
, B ∈ IRn×p
, C ∈ IRm×n
, D ∈ IRm×p
, k = 0, 1, 2, ...
E{wk, wl} = Qδkl, E{vk, vl} = Rδkl,
E{wk, vl} = E{wk, x0} = E{vk, x0} = 0,
∀k, l = 0, 1, 2, ...
Système Stochastique Incertain (USS)
Paramètres bornées + bruit statistique
Example :Satellite avec signal bruité + tolérance de changment de
masse etc
9 / 39
21. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Point départ de la thèse
Objectif général
Etape 1
Estimer les états ou les paramètres d’un modèle dynamique, en prenant
en compte les incertitudes bornee et les bruits statistique,
Etape 2
Optimiser les méthodes ensemblistes pour mieux adapter la détection de
faute, en balançant entre la rapidité et le précision de resultat,
Etape 3
Avec les outils ensemblistes développés, procéder à la détection de
fautes et au diagnostic,
10 / 39
22. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
2ème
partie
Calcul par intervalles
11 / 39
23. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : la base
Definition (Interval)
An interval x in R is a closed set of connected real values noted by
x = [x, x] = {x ∈ R|x x x}
where x ∈ R is the inferior bound of interval x and x is the superior bound.
12 / 39
24. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : la base
Definition (Interval)
An interval x in R is a closed set of connected real values noted by
x = [x, x] = {x ∈ R|x x x}
where x ∈ R is the inferior bound of interval x and x is the superior bound.
Definition (Opérateurs)
the interval width : w(x) = x − x,
the interval center : mid(x) = (x + x)/2,
the interval radius : rad(x) = (x − x)/2.
the interval bounds : sup/inf (x) = x/x.
12 / 39
25. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : la base
Definition (Interval)
An interval x in R is a closed set of connected real values noted by
x = [x, x] = {x ∈ R|x x x}
where x ∈ R is the inferior bound of interval x and x is the superior bound.
Definition (Opérateurs)
the interval width : w(x) = x − x,
the interval center : mid(x) = (x + x)/2,
the interval radius : rad(x) = (x − x)/2.
the interval bounds : sup/inf (x) = x/x.
Definition (Natural arithmetic)
x y = [{x y | x ∈ x, y ∈ y}], with ∈ {+, −, ×, /}.
12 / 39
26. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : la base
Definition (Interval)
An interval x in R is a closed set of connected real values noted by
x = [x, x] = {x ∈ R|x x x}
where x ∈ R is the inferior bound of interval x and x is the superior bound.
Definition (Opérateurs)
the interval width : w(x) = x − x,
the interval center : mid(x) = (x + x)/2,
the interval radius : rad(x) = (x − x)/2.
the interval bounds : sup/inf (x) = x/x.
Definition (Natural arithmetic)
x y = [{x y | x ∈ x, y ∈ y}], with ∈ {+, −, ×, /}.
Definition (Fonction d’inclusion)
The interval function f of IRn
in IR is called inclusion function of f if and only if :
∀x ∈ IRn
, f (x) ⊆ f (x).
12 / 39
27. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : la base, suite...
Definition (Interval vector)
An interval vector noted by :
x = (x1, x2, ..., xn)T
,
is a vector in which the elements are intervals. x ∈ IRn
which is the ensemble of interval
variables in IR. For all i ∈ 1, ..., n, the interval xi corresponds to the ith component of x.
13 / 39
28. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : la base, suite...
Definition (Interval vector)
An interval vector noted by :
x = (x1, x2, ..., xn)T
,
is a vector in which the elements are intervals. x ∈ IRn
which is the ensemble of interval
variables in IR. For all i ∈ 1, ..., n, the interval xi corresponds to the ith component of x.
Definition (Interval box)
An interval box x in IRn
is the Cartesian product of n intervals :
x = [x1, x1] × ... × [xn, xn] = x1 × ... × xn.
13 / 39
29. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : la base, suite...
Definition (Interval vector)
An interval vector noted by :
x = (x1, x2, ..., xn)T
,
is a vector in which the elements are intervals. x ∈ IRn
which is the ensemble of interval
variables in IR. For all i ∈ 1, ..., n, the interval xi corresponds to the ith component of x.
Definition (Interval box)
An interval box x in IRn
is the Cartesian product of n intervals :
x = [x1, x1] × ... × [xn, xn] = x1 × ... × xn.
Definition (Bisection)
The bisection is an operation that partitions an interval box x into two other interval boxes
L(x) and R(x) which are :
L(x) [x1, x1] × ... × xj,
xj + xj
2
× ... × [xn, xn],
R(x) [x1, x1] × ... ×
xj + xj
2
, xj × ... × [xn, xn],
where the jth component of x is bisected.
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30. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : pessimisme
Pessimisme : Dépendance
Example : Given x = [−1, 2], y = [2, 3], then x × y × x = [−6, 12]. But there
exists a constraint : Cx = {x1 × y × x2 | x1 = x2, x1 ∈ x, x2 ∈ x}. As the more
compact yet exact result should be [0, 12]. The constraint Cx is lost.
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31. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : pessimisme
Pessimisme : Dépendance
Example : Given x = [−1, 2], y = [2, 3], then x × y × x = [−6, 12]. But there
exists a constraint : Cx = {x1 × y × x2 | x1 = x2, x1 ∈ x, x2 ∈ x}. As the more
compact yet exact result should be [0, 12]. The constraint Cx is lost.
Pessimisme : Effet enveloppe
Example : Consider successive rotations of a
dimension 2 box x = x1 × x2 submitted to a
rotation matrix :
M =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
.
x2
x1
f(x(0))
f(x(0))
f(f(x(0)))
f(f(x(0)))
x(0)
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32. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Analyse par intervalle
Analyse par intervalle : pessimisme
Pessimisme : Dépendance
Example : Given x = [−1, 2], y = [2, 3], then x × y × x = [−6, 12]. But there
exists a constraint : Cx = {x1 × y × x2 | x1 = x2, x1 ∈ x, x2 ∈ x}. As the more
compact yet exact result should be [0, 12]. The constraint Cx is lost.
Pessimisme : Effet enveloppe
Example : Consider successive rotations of a
dimension 2 box x = x1 × x2 submitted to a
rotation matrix :
M =
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
.
x2
x1
f(x(0))
f(x(0))
f(f(x(0)))
f(f(x(0)))
x(0)
Conséquence
Pas de zero, perte de contraintes entre variable, calcul lente, résultat divergeant...
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33. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Optimisation de solution
Inversion des intervalles par méthode récursive
Outil de l’inversion
Set Inverter Via Interval Analysis (SIVIA)
Find the solution set S :
S = u ∈ U|ϕ(u) ∈ [y] = ϕ − 1([y]) ∩ U
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34. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Optimisation de solution
Inversion des intervalles par méthode récursive
Outil de l’inversion
Set Inverter Via Interval Analysis (SIVIA)
Find the solution set S :
S = u ∈ U|ϕ(u) ∈ [y] = ϕ − 1([y]) ∩ U
If ϕ([u]) ⊆ [y], then [u] is a feasible box and added to S (inner
enclosure).
If ϕ([u]) ∩ [y] = ∅, then box [u] is unfeasible and disregarded.
Else, no conclusion can be reached so [u] is said to be
undetermined. It is bisected in two sub-boxes.
Termination criterion : size of [u] lower than > 0.
SIVIA est utilisé pour trouver la solution plus compacte et
exacte et pour optimiser le resultat garanti !
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35. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Optimisation de solution
Calcul par contraintes
Definition (Constraint Satisfaction Problem, CSP)
A Constraint Satisfaction Problem H = (X, D, C) is defined by :
- a set of variables X = {x1, ..., xn},
- a set of value domains D = {D1, ..., Dn} where Di is the domain associated to
the variable xi,
- a set of constraints C = {C1, ..., Cm}, linking variables X.
Example :An interval linear system of the form 0 ∈ AX − B can be represented
as a CSP as CSP(A ∈ A, B ∈ B, X ∈ X, AX = B)
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36. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Optimisation de solution
Calcul par contraintes
Definition (Constraint Satisfaction Problem, CSP)
A Constraint Satisfaction Problem H = (X, D, C) is defined by :
- a set of variables X = {x1, ..., xn},
- a set of value domains D = {D1, ..., Dn} where Di is the domain associated to
the variable xi,
- a set of constraints C = {C1, ..., Cm}, linking variables X.
Example :An interval linear system of the form 0 ∈ AX − B can be represented
as a CSP as CSP(A ∈ A, B ∈ B, X ∈ X, AX = B)
Definition (Contracteur)
A contractor R for a CSP H1 = (X, D1, C) is an operator that can shrink the
defined domain D1 into a domain D2, such that :
D2 ⊂ D1.
The new CSP H2 is equivalent to H1.
Il y a des contracteurs a choisir selon les criteres differents :
propagation avant/arrière, Gausse, Newton, Krawczyk... !
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37. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Optimisation de solution
Inversion des matrice des intervalles
Definition (regularity of interval matrix)
An interval matrix A ∈ IRn×n
is called regular if and only if it satisfies :∀A ∈ A,
det A = 0, otherwise it is called singular.
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38. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Optimisation de solution
Inversion des matrice des intervalles
Definition (regularity of interval matrix)
An interval matrix A ∈ IRn×n
is called regular if and only if it satisfies :∀A ∈ A,
det A = 0, otherwise it is called singular.
Methode de Rohn
Calculer A−1
par approximation de Ayz = Ac − Ty∆Tz , ou
A = Ac + ∆, Ac = mid(A), ∆ = rad(A), and Y , Z sont vecteurs de ±1 .
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39. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Optimisation de solution
Inversion des matrice des intervalles
Definition (regularity of interval matrix)
An interval matrix A ∈ IRn×n
is called regular if and only if it satisfies :∀A ∈ A,
det A = 0, otherwise it is called singular.
Methode de Rohn
Calculer A−1
par approximation de Ayz = Ac − Ty∆Tz , ou
A = Ac + ∆, Ac = mid(A), ∆ = rad(A), and Y , Z sont vecteurs de ±1 .
Proposition (Inversion de la matrice des intervalles par SIVIA)
Given an interval matrix A ∈ IRn×n
and B ∈ IRn×m
, for a linear system like AX = B, if
the solution of X exists, it must satisfy the following constraints and each constraint can be
solved by SIVIA algorithm :
Ci,j :
n
p=1
ai,pxp,j = bi,j, i = {1, · · · , n}, j = {1, · · · , m}.
Inversion des matrice des intervalles par SIVIA est plus flexible pour
balancer la vitesse et la précision !
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40. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
3ème
partie
Estimation ensembliste
des états et détection
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41. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Espérance et variance ensembliste
Espérance et variance ensembliste
xk = Axk−1 + wk−1,
w ∼ N(µ, σ2
).
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42. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Espérance et variance ensembliste
Espérance et variance ensembliste
xk = Axk−1 + wk−1,
w ∼ N(µ, σ2
).
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
800
1000
1200
µ ∈ [0, 2], σ fixed
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43. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Espérance et variance ensembliste
Espérance et variance ensembliste
xk = Axk−1 + wk−1,
w ∼ N(µ, σ2
).
−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
0
200
400
600
800
1000
1200
µ ∈ [0, 2], σ fixed
−15 −10 −5 0 5 10 15
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
µ fixed, σ ∈ [1, 3]
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45. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Espérance et variance ensembliste
Esperance et variance ensembliste, suite
Theorem
Giving x a random continuous variable characterised by the density function :
f (x; µ, σ2
) =
1
σ
√
2π
exp −
(x − µ)2
2σ2
, ∀x ∈ R.
it has an mean E(x) = µ and variance V(x) = σ2.
Theorem
Giving x a random continuous variable x in one dimension with normal distribution
characterised by x ∼ N(mx, V(x)),the variable y evaluated from the linear
combination :
y = Ax + b = g(x),
is also a random continuous variable with normal distribution characterised by
y ∼ N(Amx + b, AV(x)AT
).
if and only if A is invertible.
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46. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Méthode existant et son problème
Filtre de Kalman ensembliste sub-optimal (sIKF)
Algorithme IKF
Initialisation :
ˆx0|0 = x0, where x0 ∼ N(m0, P0),
ˆP0|0 = P0,
Prédiction :
ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk ,
ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT
+ Q,
k = 0, 1, ...
Correction :
Kk+1 = ˆPk+1|k CT
C ˆPk+1|k CT
+ R
−1
,
ˆPk+1|k+1 = (In − Kk+1C) ˆPk+1|k ,
ˆxk+1|k+1 = ˆxk+1|k + Kk+1 yk+1 − ˆyk+1|k ,
k = 0, 1, ...
Structure identique dans le
sens classique,
Implémentation facile,
Efficace pour les systèmes
linéaire.
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47. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Méthode existant et son problème
Filtre de Kalman ensembliste sub-optimal (sIKF)
Algorithme IKF
Initialisation :
ˆx0|0 = x0, where x0 ∼ N(m0, P0),
ˆP0|0 = P0,
Prédiction :
ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk ,
ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT
+ Q,
k = 0, 1, ...
Correction :
Kk+1 = ˆPk+1|k CT
C ˆPk+1|k CT
+ R
−1
,
ˆPk+1|k+1 = (In − Kk+1C) ˆPk+1|k ,
ˆxk+1|k+1 = ˆxk+1|k + Kk+1 yk+1 − ˆyk+1|k ,
k = 0, 1, ...
Structure identique dans le
sens classique,
Implémentation facile,
Efficace pour les systèmes
linéaire.
Mais...
Nécessite revoir la deduction,
Manque de contrôle de
pessimisme,
Conséquence : Fausse alarme
dans la détection de faute,
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48. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Méthode existant et son problème
Filtre de Kalman ensembliste sub-optimal (sIKF)
Algorithme IKF
Initialisation :
ˆx0|0 = x0, where x0 ∼ N(m0, P0),
ˆP0|0 = P0,
Prédiction :
ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk ,
ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT
+ Q,
k = 0, 1, ...
Correction :
Kk+1 = ˆPk+1|k CT
C ˆPk+1|k CT
+ R
−1
,
ˆPk+1|k+1 = (In − Kk+1C) ˆPk+1|k ,
ˆxk+1|k+1 = ˆxk+1|k + Kk+1 yk+1 − ˆyk+1|k ,
k = 0, 1, ...
Détournement sub-optimal (sIKF)
Kk+1 = ˆPk+1|k CT
× sup C ˆPk+1|k CT
+ R
−1
.
Structure identique dans le
sens classique,
Implémentation facile,
Efficace pour les systèmes
linéaire.
Mais...
Nécessite revoir la deduction,
Manque de contrôle de
pessimisme,
Conséquence : Fausse alarme
dans la détection de faute,
Perte de solution en
remplaçant la matrice des
intervalles par son borne
supérieur
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49. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Méthodes de l’amélioration
Proposition (Obtention de gain de filtre de Kalman par SIVIA)
Kk+1 C ˆPk+1|kCT
+ R = ˆPk+1|kCT
.
22 / 39
50. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Méthodes de l’amélioration
Proposition (Obtention de gain de filtre de Kalman par SIVIA)
Kk+1 C ˆPk+1|kCT
+ R = ˆPk+1|kCT
.
We define Sk+1 = C ˆPk+1|kCT
+ R, Tk+1 = ˆPk+1|kCT
,
Kk+1Sk+1 = Tk+1.
where Kk+1 ∈ IRn×m
, Sk+1 ∈ IRm×m
, Tk+1 ∈ IRn×m
.
22 / 39
51. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Méthodes de l’amélioration
Proposition (Obtention de gain de filtre de Kalman par SIVIA)
Kk+1 C ˆPk+1|kCT
+ R = ˆPk+1|kCT
.
We define Sk+1 = C ˆPk+1|kCT
+ R, Tk+1 = ˆPk+1|kCT
,
Kk+1Sk+1 = Tk+1.
where Kk+1 ∈ IRn×m
, Sk+1 ∈ IRm×m
, Tk+1 ∈ IRn×m
.
Every component in matrix K is considered
separately and the search space is the
Cartesian product of each component :
K
(1,1)
k+1 × K
(1,2)
k+1 × ... × K
(n,m)
k+1 .
This search space is then bisected and tested
under SIVIA properly adapted to matrix
operations.
22 / 39
52. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Méthodes de l’amélioration
Proposition (Obtention de gain de filtre de Kalman par SIVIA)
Kk+1 C ˆPk+1|kCT
+ R = ˆPk+1|kCT
.
We define Sk+1 = C ˆPk+1|kCT
+ R, Tk+1 = ˆPk+1|kCT
,
Kk+1Sk+1 = Tk+1.
where Kk+1 ∈ IRn×m
, Sk+1 ∈ IRm×m
, Tk+1 ∈ IRn×m
.
Every component in matrix K is considered
separately and the search space is the
Cartesian product of each component :
K
(1,1)
k+1 × K
(1,2)
k+1 × ... × K
(n,m)
k+1 .
This search space is then bisected and tested
under SIVIA properly adapted to matrix
operations.
22 / 39
53. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Méthodes de l’amélioration
Proposition (Propagation par contrainte)
Décomposer une equation avec les vairables intéressé f (x1, ..., xn) = 0 à une
séquence des opérations élémentaires primitives pour construire une liste de
contrainte, afin de compacter la zone de recherche des valeurs
23 / 39
54. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Méthodes de l’amélioration
Proposition (Propagation par contrainte)
Décomposer une equation avec les vairables intéressé f (x1, ..., xn) = 0 à une
séquence des opérations élémentaires primitives pour construire une liste de
contrainte, afin de compacter la zone de recherche des valeurs
Proposition (Règle de l’intersection de multiples intervalles, n > 2)
n
i=1
Mi (
n−1
i=1
Mi) · Mn ∩ M1 · (
n−1
i=1
Mi+1) .
23 / 39
55. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Méthodes de l’amélioration
Proposition (Propagation par contrainte)
Décomposer une equation avec les vairables intéressé f (x1, ..., xn) = 0 à une
séquence des opérations élémentaires primitives pour construire une liste de
contrainte, afin de compacter la zone de recherche des valeurs
Proposition (Règle de l’intersection de multiples intervalles, n > 2)
n
i=1
Mi (
n−1
i=1
Mi) · Mn ∩ M1 · (
n−1
i=1
Mi+1) .
Proposition (Calibration adaptative)
ˆxk Ck, Pk = P0, si w(x(i)k+1|k+1) w(x(i)∗
k+1), i = 1, ..., n,
23 / 39
56. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Filtre de Kalman ensembliste amélioré (iIKF)
Algorithme iIKF
Initialisation ˆx0|0 = x0, x0 ∼ N(m0, P0),
ˆP0|0 = P0,
Prediction ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk ,
ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT
+ Q,
Cp : ˆP
(i,i)
k+1|k 0, i = 1, 2..., n,
Correction ΣKk+1
=
s
a=1
Kk+1|a | Kk+1|a C ˆPk+1|k CT
+ R = ˆPk+1|k CT
,
Cp : [C ˆPk+1|k CT
](i,i)
0, i = 1, 2..., n,
ˆPk+1|k+1 =
s
a=1
(In − Kk+1|aC) ˆPk+1|k | Kk+1|a ∈ ΣKk+1
,
ˆxk+1|k+1 =
s
a=1
ˆxk+1|k + Kk+1|a yk+1 − ˆyk+1|k | Kk+1|a ∈ ΣKk+1
,
k = 0, 1, ...
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57. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Filtrage de Kalman ensembliste amélioré
Filtre de Kalman ensembliste amélioré (iIKF)
Algorithme iIKF
Initialisation ˆx0|0 = x0, x0 ∼ N(m0, P0),
ˆP0|0 = P0,
Prediction ˆxk+1|k = A ˆxk|k + Buk ,
ˆPk+1|k = A ˆPk|k AT
+ Q,
Cp : ˆP
(i,i)
k+1|k 0, i = 1, 2..., n,
Correction ΣKk+1
=
s
a=1
Kk+1|a | Kk+1|a C ˆPk+1|k CT
+ R = ˆPk+1|k CT
,
Cp : [C ˆPk+1|k CT
](i,i)
0, i = 1, 2..., n,
ˆPk+1|k+1 =
s
a=1
(In − Kk+1|aC) ˆPk+1|k | Kk+1|a ∈ ΣKk+1
,
ˆxk+1|k+1 =
s
a=1
ˆxk+1|k + Kk+1|a yk+1 − ˆyk+1|k | Kk+1|a ∈ ΣKk+1
,
k = 0, 1, ...
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58. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Application à la détection
Application à la détection : Seuil adaptative
Seuil dans le context conventionel
The confidence interval at 99.7% on the ith component of ˆyk+1|k (i = 1, ..., n) can be used
for fault detection thresholding :
Ii
ˆy,k+1|k = [µi
k+1 − q × σi
k+1, µi
k+1 + q × σi
k+1],
where the µi
k+1 is the ith component of the a priori output estimate ˆyk+1|k, σi
k+1 is the
standard deviation of ˆyk+1|k and q = 3 (to obtain a confidence interval at 99.7%).
25 / 39
59. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Application à la détection
Application à la détection : Seuil adaptative
Seuil dans le context conventionel
The confidence interval at 99.7% on the ith component of ˆyk+1|k (i = 1, ..., n) can be used
for fault detection thresholding :
Ii
ˆy,k+1|k = [µi
k+1 − q × σi
k+1, µi
k+1 + q × σi
k+1],
where the µi
k+1 is the ith component of the a priori output estimate ˆyk+1|k, σi
k+1 is the
standard deviation of ˆyk+1|k and q = 3 (to obtain a confidence interval at 99.7%).
Il peut etre etendu au contexte ensembliste :
Proposition (Seuil adaptative)
Ii
ˆy,k+1|k is given, for i = 1, ..., n, by :
Ii
ˆy,k+1|k = ˆyi
k+1|k − q × σi
k+1 , ˆyi
k+1|k + q × σi
k+1 ,
where ˆyi
k+1|k is the ith component of ˆyk+1|k and σi
k+1 represents the standard deviation
of ˆyi
k+1|k, which is approximated by the a priori measurement error standard deviation.
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60. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Application à la détection
Application à la détection : Indicateur de faute
Proposition (Indicateur de faute par tester l’intersection)
A binary fault indicator variable indexed by the time instant τk+1 which infers :
τk+1 =
1 if there exists at least an index i such that Ii
y,m,k+1 ∩ Ii
ˆy,k+1|k = ∅,
0 otherwise.
where Ii
y,m,k+1 represents the ith component of the confidence interval (at 99,7%) of the
measured output yi
m,k+1.
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61. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Application à la détection
Application à la détection : Indicateur de faute
Proposition (Indicateur de faute par tester l’intersection)
A binary fault indicator variable indexed by the time instant τk+1 which infers :
τk+1 =
1 if there exists at least an index i such that Ii
y,m,k+1 ∩ Ii
ˆy,k+1|k = ∅,
0 otherwise.
where Ii
y,m,k+1 represents the ith component of the confidence interval (at 99,7%) of the
measured output yi
m,k+1.
Proposition (Indicateur de faute par tester l’existence de zero)
the tolerated interval I∗
ˆy,k+1|k is used in this approach and compared directly with
measured output :
rk+1 = I∗
ˆy,k+1|k − ym,k+1,
We denote ri
k+1 the ith component of the vector rk. The τk+1 defined previously now
becomes :
τk+1 =
1 if there exists at least an index i such that 0 ∈ ri
k+1
0 otherwise.
26 / 39
62. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
4ème
partie
Exemples numériques
27 / 39
63. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Contexte d’exemple 1
Example (Systeme de tracking simple)
xk+1 = Axk + wk,
yk = Cxk + vk, k = 0, 1, 2, ...
Système dispose 2 états, 2 entrées et 1 sortis de mesure
Donnée initiale
A =
0.4 0.1
−0.1 0.2
, C = 0 1 , Q =
10 0
0 10
, R = 1.
A =
[−0.1, 0.1] [−0.15, 0.15]
0 [−0.25, 0.25]
, C = 0 [−0.1, 0.1] ,
Q =
[−2, 2] 0
0 [−2, 2]
, R = [−0.9, 1.1],
E{x0} =
x01
x02
=
1
1
, Cov{x0} =
P00 P01
P10 P11
=
0.5 0.0
0.0 0.5
.
28 / 39
64. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Estimation des états d’un cas d’étude
Indices for comparison
N : number of calibration times,
O : number of times that the estimate
envelope does not contain real state,
D : criterion describing the characteristic of
the estimate envelope.
D =
K
k=1 d( ˆxk, xk)T d( ˆxk, xk)
K
k=1 x2
k
,
d( ˆxk, xk) = (sup( ˆxk) − xk) + (inf ( ˆxk) − xk).
p : number of iteration steps,
: predefined precision for bisection in SIVIA
t : execution time
29 / 39
65. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Estimation des états d’un cas d’étude
Banc d’essai
IKF
Chen
sIKF
Chen
iIKF
= 0.5
iIKF
= 0.2
iIKF
= 0.05
Indices for comparison
N : number of calibration times,
O : number of times that the estimate
envelope does not contain real state,
D : criterion describing the characteristic of
the estimate envelope.
D =
K
k=1 d( ˆxk, xk)T d( ˆxk, xk)
K
k=1 x2
k
,
d( ˆxk, xk) = (sup( ˆxk) − xk) + (inf ( ˆxk) − xk).
p : number of iteration steps,
: predefined precision for bisection in SIVIA
t : execution time
29 / 39
66. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Estimation des états d’un cas d’étude, résultat
sIKF
30 / 39
67. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Estimation des états d’un cas d’étude, résultat
sIKF
iIKF
30 / 39
68. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Estimation des états d’un cas d’étude, résultat
Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
31 / 39
69. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Estimation des états d’un cas d’étude, résultat
Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
Compare to original IKF :
Our approach prevented unnecessary recalibration due to the divergent interval
operation. IKF is highly limited to the singularity problem.
31 / 39
70. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Estimation des états d’un cas d’étude, résultat
Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
Compare to original IKF :
Our approach prevented unnecessary recalibration due to the divergent interval
operation. IKF is highly limited to the singularity problem.
Compare to original sIKF :
Our approach keeps all bounded uncertainty in its loop, both the real state and
optimal solution from conventional Kalman filter are entirely contained. While
sIKF is no longer guaranteed for parameter uncertainty.
31 / 39
71. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Estimation des états d’un cas d’étude, résultat
Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
Compare to original IKF :
Our approach prevented unnecessary recalibration due to the divergent interval
operation. IKF is highly limited to the singularity problem.
Compare to original sIKF :
Our approach keeps all bounded uncertainty in its loop, both the real state and
optimal solution from conventional Kalman filter are entirely contained. While
sIKF is no longer guaranteed for parameter uncertainty.
Compare to itself when changes
The smaller is, the better accuracy is achieved, but the longer time it takes.
31 / 39
72. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimation des états d’un cas d’étude
Estimation des états d’un cas d’étude, résultat
Filter N O D t
IKF - 18 14 18.4770 0.93s
sIKF - 0 56 0.85 0.75s
iIKF 1 0 0 1.5382 11s
0.2 0 0 1.5098 55s
0.05 0 0 1.5036 791s
Compare to original IKF :
Our approach prevented unnecessary recalibration due to the divergent interval
operation. IKF is highly limited to the singularity problem.
Compare to original sIKF :
Our approach keeps all bounded uncertainty in its loop, both the real state and
optimal solution from conventional Kalman filter are entirely contained. While
sIKF is no longer guaranteed for parameter uncertainty.
Compare to itself when changes
The smaller is, the better accuracy is achieved, but the longer time it takes.
Kalman gain obtained from SIVIA is “smaller”.
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73. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Détection de faute d’un cas d’étude
Contexte d’exemple 2
Example (Attitude Control System (ACS))
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) + w,
y(t) = Cx(t) + D + v,
w ∼ N(0, 0.01), v ∼ N(0, 0.01).
Système dispose 6 états, 3 entrées et 3 sortis de mesure
Système retenu après discretisation et simplification
xk+1 = A∗
dxk + wk,
yk = C∗
d xk + vk, k = 0, 1, 2, ...
A∗
d =
1 0 −0.0041
0 1 0
0.0041 0 1
, C∗
d =
0 0 1
0 1 0
1 0 0
, Q = R =
0.001 0 0
0 0.001 0
0 0 0.001
,
A = A∗
d + A, A =
0 0 [−0.0001, 0.0001]
0 0 0
[−0.0001, 0.0001] 0 0
.
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74. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Détection de faute d’un cas d’étude
Détection de faute de cas d’étude, résultat
Example :Une faute additive de capteur sur tout les chaines de sortie
ym(k) = ym(k)∗
+ fa, ∀k ∈ [50, 80]
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75. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Détection de faute d’un cas d’étude
Détection de faute de cas d’étude, résultat
ym(k) = ym(k) + fa, ∀k ∈ [50, 80]
33 / 39
76. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
5ème
partie
Conclusion et perspectives
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77. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
Objectif général : rappel
Etape 1
Estimer les états ou les paramètres d’un modèle dynamique, en prenant
en compte les incertitudes bornee et les bruits statistique
Etape 2
Optimiser les méthodes ensemblistes pour mieux adapter la détection de
faute, en balançant entre la rapidité et le précision de resultat
Etape 3
Avec les outils ensemblistes développés, procéder à la détection de
fautes et au diagnostic
35 / 39
78. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
Conclusion
V Etape 1
Une nouvelle approche de l’estimation dans un contexte ensembliste et statistique
unifié,
Définition raffinée de l’espérance et de la variance ensembliste pour système linéaire,
Nouvelle technique de l’inversion de matrice intervalle par SIVIA et CSP,
Etape 2
Optimiser les méthodes ensemblistes pour mieux adapter la détection de
faute, en balançant entre la rapidité et le précision de resultat
Etape 3
Avec les outils ensemblistes développés, procéder à la détection de
fautes et au diagnostic
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79. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
Conclusion
V Etape 1
Une nouvelle approche de l’estimation dans un contexte ensembliste et statistique
unifié,
Définition raffinée de l’espérance et de la variance ensembliste pour système linéaire,
Nouvelle technique de l’inversion de matrice intervalle par SIVIA et CSP,
V Etape 2
Implémentation de différentes contrainte pour limiter le sur-estimation,
Calcul de gain Kalman par l’inversion de matrice intervalle avec SIVIA,
Obtention de résultat "garanti" en conservant tout les configurations définis par les
paramètres bornées,
Etape 3
Avec les outils ensemblistes développés, procéder à la détection de
fautes et au diagnostic
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80. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
Conclusion
V Etape 1
Une nouvelle approche de l’estimation dans un contexte ensembliste et statistique
unifié,
Définition raffinée de l’espérance et de la variance ensembliste pour système linéaire,
Nouvelle technique de l’inversion de matrice intervalle par SIVIA et CSP,
V Etape 2
Implémentation de différentes contrainte pour limiter le sur-estimation,
Calcul de gain Kalman par l’inversion de matrice intervalle avec SIVIA,
Obtention de résultat "garanti" en conservant tout les configurations définis par les
paramètres bornées,
V Etape 3
Implémentation de estimation ensembliste a la détection de faute.
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81. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
Perspectives
Améliorer l’efficacité et la vitesse de l’algorithme iIKF,
Optimiser profondément le résultat par introduire nouvelle contrainte,
Estimation ensembliste pour système non linéaire stochastique
incertain.
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82. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
Merci de votre attention
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83. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
Bibliographie
Guanrong Chen, Jianrong Wang, and Leang S. Shieh. Interval
kalman filtering. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic
Systems, 33(1) :250–259, 1997.
Luc Jaulin, Michel Kieffer, O Didrit, and Eric Walter. Applied interval
analysis. Springer-Verlag, January 2001.
Ramon E. Moore. Interval analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs,
January 1966.
J Rohn. Inverse interval matrix. SIAM Journal on Numerical
Analysis, 30(3) :864–870, 1993.
38 / 39
84. Contexte et problématique Calcul par intervalles Estimation ensembliste des états et détection Exemples numériques Conclusion et perspectives Fin
Estimations ensemblistes des états et application à la détection
Publication
J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. Set-membership estimation for
linear system with bounded parameters and statistical noises.Small Workshop on
Interval Methods, Oldenburg, Germany, 2012
J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. New computation aspects for
existing Interval Kalman Filtering and application.15th Workshop on Control
Applications of Optimization, Rimini, Italy, 2012
J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. Improvements in computational
aspects of Interval Kalman Filtering by using constraint propagation.11th International
Workshop IEEE ECMSM, Toulouse, France, 2013
J XIONG, C JAUBERTHIE et L TRAVE-MASSUYES. Fault Detection using Interval
Kalman Filtering enhanced by Constraint Propagation.52nd IEEE Conference on
Decision and Control, Florence, Italy, 2013
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